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Georg Cantor
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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand, connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée1. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire.

Au XXIe siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de paradigme, à l'exception d'une partie du courant constructiviste qui s'inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Sommaire

modifier Biographie

modifier Enfance et études

Georg Cantor est né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg. Son père est Georg Waldemar Cantor, un homme d'affaires danois et courtier à la bourse de St Pétersbourg ; c'est un luthérien fervent. Sa mère est Maria Anna Böhm, une femme de nationalité autrichienne, issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage.

Georg Cantor, fut élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle.

Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite à Francfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme avec félicitations à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment en trigonométrie. En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études supérieures en mathématiques.

En 1863, à la mort de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse portant sur la Théorie des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

modifier Début de carrière

Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor accepta en 1870 un poste à l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation requise grâce à sa thèse, puis fut promu chargé de cours en 1872.

En 1874, Cantor fit la connaissance de Richard Dedekind lors d'un voyage en Suisse. Cela devait être le point de départ d'une relation suivie qui devait jouer un rôle décisif dans le développement de la théorie des ensemble de Cantor2. Leur correspondance, qui s'étale de 1874 à 1889, en est un témoignage précieux.

Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable réelle comme série de fonctions trigonométriques. Intéressé par ce problème, Cantor obtint l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, il s'attacha à définir l'ensemble des points de discontinuité de ces fonctions, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi qu'il commença à s'interroger sur l'infini. En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le journal de Crelle, où il donna la première démonstration que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.

Toujours en 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Malgré un modeste salaire académique, Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de sa famille grâce à l'héritage de son père[réf. nécessaire].

modifier Hostilités entre Cantor et Kroneker

En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini comme une entité : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l'oeuvre de l'homme ». Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une construction explicite d'un tel objet.

En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de Halle. Atteindre le plus haut rang à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et il ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue.

En 1881, Édouard Heine, collègue de Cantor de l'université de Halle mourut, laissant une chaire inoccupée. L'université de Halle accepta la proposition de Cantor, de proposer la chaire à Dedekind, Heinrich Weber et Franz Mertens (dans cet ordre), mais tous déclinèrent l'offre. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur de faible niveau et portait une lourde charge administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département de mathématiques del'université de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

modifier Dépression

En 1884, Cantor fut frappé de son premier accès de dépression. Selon Éric Temple Bell, sa crise proviendrait d'un sentiment d'insécurité provenant d'un conflit freudien avec son père. Selon Joseph Dauben, il est plus probable que cette crise soit causée par les attaques de Kronecker.

Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même :

« ...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire dans ce sens et je me limite au strict nécessaire, à savoir donner des cours ; combien je voudrais être actif scientifiquement et si seulement j'avais la vivacité d'esprit nécessaire. »

Bien qu'il produisit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de production des années 1874 à 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout, le désaccord philosophique et les difficultés qui les séparaient persistèrent. On a dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor avaient été déclenchés par l'opposition que lui manifestait Kronecker, or quoique les difficultés relationnelles de Cantor et les troubles de sa production mathématique fussent, c'est certain, exacerbés par sa dépression, on peut douter qu'elles en fussent la cause.

En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'« infini absolu », l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu.3

Pensant que Francis Bacon était en fait l'auteur de pièces attribuées à Shakespeare, il entama, pendant sa période de maladie, en 1884, une étude approfondie de la littérature élisabéthaine, dans le but d'étayer cette hypothèse. Cela le conduisit à publier deux articles, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues.

En 1890, Cantor participa à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organisa la première réunion à Halle en 1891 et en fut élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole lors de cette réunion ; Kronecker ne put le faire, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort.

Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffrit d'une dépression chronique, qui l'affecta jusqu'à la fin de sa vie et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Cependant, il n'abandonna pas complètement les mathématiques, car il donna des conférences sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une réunion de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903 et il assista au Congrès international des Mathématiciens de Heidelberg en 1904.

En 1903, il fut lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society.

Cantor prit sa retraite en 1913 ; il fut confronté à la pauvreté et souffrit même de la faim au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre et quelques mois avant la fin de celle-ci, il mourut en janvier 1918 à l'hôpital où il avait passé la dernière année de sa vie.

modifier Œuvre

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Cantor fut l'initiateur de la Théorie des ensembles, à partir de 1874. Certains, comme Galilée avaient déjà remarqué qu'un ensemble infini, comme les carrés des nombres entiers, pouvait être mis en correspondance avec un ensemble infini le contenant strictement, en l'occurrence tous les entiers. Il y a d'une certaine façon « autant » de carrés de nombres entiers que de nombres entiers. Cantor est le premier à donner un sens précis à cette remarque, à l'aide de la notion de bijection qu'il introduit (sous un autre nom) à l'occasion, puis à la systématiser. Par exemple Cantor montre qu'il y a autant de nombres rationnels, ceux représentés par des fractions, que de nombres entiers. Cantor va plus loin et découvre qu'il y a plusieurs infinis, au sens où ils ne peuvent être mis en correspondance entre eux par une bijection : il montre en 1874 que la droite réelle contient plus de nombres nombres transcendants (« beaucoup plus ») que de nombres algébriques(solutions d'équations polynomiales à coefficients rationnels).

Cantor introduit la notion d'ensemble dénombrable ou infini dénombrable : un ensemble qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c’est-à-dire que l'on peut, d'un certaine façon, numéroter tous ses éléments par des entiers (sans répétition mais ce n'est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des nombre rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables, mais l'ensemble des nombres réels ne l'est pas.

Il donne une preuve élégante et très courte de ce dernier résultat en 1891, où il utilise ce qui est connu maintenant comme l'argument diagonal de Cantor, et qui a été depuis très utilisé, en particulier en logique mathématique et en théorie de la calculabilité. Il utilise cet argument pour montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A, appelé ensemble des parties de A, a strictement plus d'éléments que A, même si A est infini, c’est-à-dire que ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection. Cette proposition est aujourd'hui appelée Théorème de Cantor. Elle a pour conséquence, l'existence d'une hiérarchie stricte d'ensembles infinis.

Pour étudier l'infini, Cantor introduit deux notions de nombres et leur arithmétique particulière (somme, produit ...). La première est celle de nombre cardinal, qui caractérise une classe d'ensembles pouvant être mis en bijection. Le plus petit nombre cardinal infini est celui des entiers naturels, le dénombrable. Le cardinal des nombres réels, ou de façon équivalent de l'ensemble des sous-ensembles des entiers naturels, est la puissance du continu. Cantor introduit la lettre hébraïque א (aleph) pour désigner les cardinaux, notation toujours en usage aujourd'hui. Ainsi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est noté ℵ0 (lire aleph zéro). La puissance du continu est un cardinal forcément supérieur ou égal au cardinal suivant immédiatement le dénombrable, que l'on note ℵ1. Cantor supposait que c'était ℵ1, c'est l'hypothèse du continu.

La seconde est celle de nombre ordinal, qui généralise les entiers en tant qu'ils sont ordonnés. Il utilise pour cela la notion de bon ordre, qu'il introduit en 1883. Cantor note les ordinaux avec des lettres grecques, le plus petit ordinal infini, celui de l'ensemble des entiers naturels, est noté ω0 (aujourd'hui simplement ω). Pour les nombres cardinaux il utilise en fait un ordinal en indice de la lettre ℵ.

Les dix premières productions de Cantor portaient sur la Théorie des nombres, le sujet de sa thèse. Suivant la suggestion du professeur Édouard Heine, Cantor s'oriente vers l'analyse. Heine propose à Cantor de résoudre un problème dont la solution échappait à Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann et Édouard Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par une série de Fourier. Cantor résout ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, Cantor publie d'autres travaux sur les séries trigonométriques, incluant une définition des nombres irrationnels comme des suites convergentes de nombres rationnels. C'est l'une des deux constructions usuelles des nombres réels. Dedekind, avec qui Cantor s'est lié d'amitié en 1872, cite ce travail dans la publication contenant sa propre construction des nombres réels, à partir de ce que l'on appelle maintenant les coupures de Dedekind.

La publication de Cantor de 1874, "Sur une propriété caractéristique de tous réels algébriques", est celle qui a marquée la naissance de sa Théorie des ensembles. Elle a été publiée dans le Journal de Crelle, malgré l'opposition de Kronecker et grâce au soutien de Dedekind. C'est dans celle-ci qu'il prouve que les nombres réels ne sont pas dénombrables, en utilisant une preuve plus complexe que le remarquablement élégant argument diagonal, célèbre à juste titre, qu'il établit en 1891.

La publication de 1874 montre alors que les nombres algébriques, c’est-à-dire les racines d'équations polynomiales à coefficients entiers, sont dénombrables. Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Liouville avait établi l'existence de nombres transcendants en 1851. Cantor ayant démontré que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, et que l'union de deux ensembles dénombrables doit être dénombrable, et comme un nombre réel est soit algébrique, soit transcendant, l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable. Il y a en fait autant de nombres transcendants que de nombres réels. On en déduit une preuve très simple d'un théorème, dû à Liouville, selon lequel il y a une infinité de nombres transcendants dans chaque intervalle.

modifier Notes

  1. ↑ Ces réserves furent reprises plus tard, par Brouwer et dans une moindre mesure Weyl. Wittgenstein avait également des objections de fond.
  2. ↑ Jean Cavaillès, préface de l'édition de la correspondance Cantor-Dedekind, reprise dans Philosophie mathématique, pp 179-185
  3. ↑ §3.2, Ignacio Jané, « The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set », dans Erkenntnis, vol. 42, no 3, mai 1995, p. 375–402 lien DOI.

modifier Bibliographie

  • 1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p92-102]).
  • 1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor [1932, p115-118]).
  • 1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p119-133]).
  • 1879
    • a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p134-138]).
    • b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p139-145]).
  • 1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p145-148]).
  • 1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p149-157]).
  • 1883
    • a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p157-164)].
    • b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemein Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p165-208]).
      • bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris 1969.
  • 1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p210-246]).
  • 1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p378-439]).
  • 1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p370-439]).
  • 1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor [1932 p278-281]).
    • fr - Traduction et introd. H. Sinaceur : Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
  • 1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p282-356]).
    • fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 1989. Disponible sur http://gallica.bnf.fr .
  • 1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
  • 1932 – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. -88mb! , éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en Allemand).
  • Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.
Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF ([1]) qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884]. Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac pour plus de détails.
Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.

modifier Voir aussi

Wikimedia Commons propose des documents multimédia libres sur Georg Cantor.

modifier Bibliographie

modifier Articles connexes
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